1 kg Federn VS 1 kg Blei

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Die Scherzfrage für Kinder: "Was ist schwerer? 1 kg Federn oder 1 kg Blei" ist weithin bekannt. Die urbane Antwort ist klar: "1 kg ist ein 1 kg beides ist gleich schwer". Wird jedoch vorsichtiger mit den Begriffen umgegangen ist die korrekte Antwort dass 1 kg Blei mindestens 1 g schwerer ist als 1 kg Federn, und dass die Differenz ungefähr 24 g beträgt. Im folgenden Text wird schrittweise diese Antwort erklärt.

Die Masse ist eine unabhängige Eigenschaft eines Körpers. Sie kann (unter anderem) im Vakuum mit einer Balkenwaage gemessen werden. 1 kg Federn haben dieselbe Masse wie 1 kg Blei.
Die Gewichtskraft $F_{\text{G}}$, ist die Kraft welche resultiert wenn ein Körper mit einer Masse (m) eine Beschleunigung erfährt. Diese Beschleunigung (g) ist auf der Erde oft ca. 9.81 $\raisebox{1ex}{$\text{m}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\text{s}}^2$}\right.$. Die Gewichtskraft berechnet sich wie folgt: $F_{\text{G}} = m · g$
Wie zu sehen ist, ist die Gewichtskraft nur von der Masse und der Beschleunigung abhängig. Somit haben zwei Körper gleicher Masse immer die gleiche Gewichtskraft, solange sie die gleiche Beschleunigung erfahren. 1 kg Federn haben dieselbe Gewichtskraft wie 1 kg Blei, wenn beides gleich stark von der Erde beschleunigt wird, nämlich 9.81 N.

Das Gewicht, die Schwere und der Wägewert sind alles Synonyme für etwas, was ich wie folgt definieren würde:
Die Normalkraft $F_{\text{N}}$ (Kraft rechtwinklig zum Angriffspunkt) welche ein Körper aufbringen muss, um einen zweiten Körper auf sich ruhen lassen zu können. Traditionell wird diese Kraft nicht wie üblich in Newton (N) angegeben. Stattdessen wird ihr sie durch 9.81 $\raisebox{1ex}{$\text{m}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\text{s}}^2$}\right.$ dividiert, und als imaginäre Masse in kg dargestellt.

Der Gewichtskraft wirkt der Auftrieb $F_{\text{A}}$ entgegen. Ein Beispiel dafür dass der Auftrieb das Gewicht massiv beeinflusst, ist ein grosser Stein im Wasser: Unter Wasser lässt er sich gut heben, aber an Land ist er viel schwerer. Die Auftriebskraft entspricht der Gewichtskraft der verdrängten Substanz. Nun wird mancher Leser denken dass die Dichte der Luft so gering ist, dass dieser Effekt nur klein sei. Dass dies nicht der Fall ist, kann mit dem Beispiel eines durchschnittlichen Menschen verdeutlicht werden: Er wiederfährt einen Auftrieb von 0.9 N was sein Gewicht um 0.1 % verringert, was wiederum 90 g sind.

Die Auftriebskraft an der Luft berechnet sich wie folgt:
$F_{\text{A}} = V · {\rho }_{\text{Luft}} · g = V · 11.812 \raisebox{1ex}{${\text{kg}}^2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\text{m}}^2·{\text{s}}^2$}\right.$
Wobei V das Volumen des Körpers oder das der verdrängten Luft ist. Die beiden Volumen sind gleich gross. Die Dichte und die Erdbeschleunigung bleiben konstant und können somit durch einen numerischen Wert ausgetauscht werden.

Eine gute Näherung des Gewichtes ist: Gewicht $= F_{\text{G}} - F_{\text{A}}$. Das Gewicht ist also wie zu sehen ist, von der Masse und vom Volumen des Körpers abhängig. Federn haben eine viel kleinere Dichte als Blei. Somit nimmt 1 kg Federn ein viel grösseres Volumen ein als 1 kg Blei und erfährt deswegen einen viel grösseren Auftrieb. In einer ersten Näherung haben Federn eine Dichte < 1 g/mL, was im angehängt Flash Video bewiesen wird. Die Feder würde nicht schwimmen wenn die Dichte > 1 g/mL wäre. Die Folge davon ist, dass 1 kg Federn mindestens 1 g leichter sind als 1 kg Blei. Dies ist ein Unterschied von mindestens 0,1 %.

Nach langem Suchen habe ich einen Wert für die Dichte von Federn auf einer Australischen Lehrer Webseite gefunden. Er beträgt 0.05 g/mL. Je nachdem von was für einem Vogel die Federn stammen etc. wird die Dichte wahrscheinlich variieren. Dieser Wert wird nun weiterverwendet damit die ungefähre Grösse des Effektes abgeschätzt werden kann. Die einzelnen Rechenschritte sind in der nachfolgenden Tabelle zusammengefasst. Dabei wurde die Dichte von Luft als 1,2041 g/L angenommen.

Somit sind 1 kg Federn ca. 24 g leichter als 1 kg Blei. Das ist ein Unterschied von ca. 2,4 %

Der Trick in den USA

Bei meiner Suche nach der Dichte der Feder bin ich auf etwas anderes witziges gestossen. In Amerika kennt man die Fragestellung ein wenig anders:

Was ist schwerer 1 pound (amerikanisches Gewichtsmass) Federn oder 1 pound Gold?

Traditionell verwendet man in Amerika das "avoirdupois weight" System um zu wägen. Sobald man aber ein Edelmetall, Schwarzpulver oder Edelsteine wägen muss, wechselt man traditionell in das "Troy Weight" System. Das verwirrende ist, dass pound immer noch pound und ounce immer noch ounce heisst, aber diese Einheiten unterschiedlich schwer sind. Es wird noch komplizierter weil die Multiplikationsfaktoren zur nächsten Einheiten in beiden Systemen verschieden sind. In einem konkreten Beispiel verdeutlicht:

Die tiefste Einheit ist bei beiden Systemen gleich gross, nämlich 1 grain.

Beim Troy-Weight sind 480 grains eine ounce, wogegen aber beim Avoirdupois-Weight 437.5 grains eine ounce ergeben. Daher ist die Masse von einer ounce Federn tiefer als die Masse von einer ounce Gold:
ca. 28,3 g Federn zu ca. 31,1 g Gold was ein Unterschied um ca. 9 % ist.

Beim Schritt zur nächst höheren Einheit ist der Umrechnungsfaktor wieder anders:
Beim Troy-Weight sind 12 ounces ein pound. Im Avoirdupois-Weight sind es 16 ounces welche einem pound entsprechen. Somit ist die Masse von einem pound Federn grösser als die von einem pound Gold ca. 453,6 g Federn zu ca. 373,2 g Blei was ein Unterschied um ca. 18 % ist, aber diesmal auf die andere Seite!